LINEAR BOLTZMANN OPERATOR’S SPECTRAL PROPERTIES
Nickolai S. Kellin
Abstract. The spectrum of linear Boltzmann operator which describes processes of particles transport and their adsorption with generation in linearized Boltzmann equation is investigated in this paper. Together with corresponding initial and boundary conditions this equation describes many processes of particle transport (from neutrons and photons in nuclear reactors and star’s atmospheres correspondingly till cells in growing populations).
Введение. Данная работа продолжает исследование спектральных свойств операторов, связанных с процессами переноса частиц в объектах произвольной формы (точнее, почти замкнутыми [1]); начало его – в [2]. Задачи, связанные с анализом свойств оператора переноса частиц, рассматривались многими авторами. Например, в работе [3] было проведено исчерпывающее исследование односкоростной стационарной задачи переноса частиц в возможно невыпуклом теле, погружённом в вакуум. В работе [4] были сняты некоторые ограничения по стационарности и фиксированности модуля скорости частиц, но рассмотрение велось исключительно для выпуклых тел. Видимо, в работе автора [5] была сделана первая попытка провести соответствующий анализ для случая переноса частиц в компактном теле. В дальнейшем (лет на 20) интересы в теории переноса сместились в сторону численных исследований. Сейчас значение теоретического (функционально-аналитического) подхода к задачам теории переноса частиц вновь возросло, что связано с заметным расширением области приложений (см., например, работу [6], где указана соответствующая литература). Рассмотрение переноса частиц проводится сейчас чаще всего ([7], [8]) не в модели В.С.Владимирова (тело погружено в вакуум), но в более простой модели К.О.Фридрихса (тело погружено в абсолютно чёрный поглотитель частиц [9]). В настоящей работе продолжает использоваться модель Владимирова.
I.1. Проведём, как и в [2], для удобства читателя унификацию изложения, сравнив описания областей определения функций, заданных в телах общего вида [3] и выпуклых [4] (см. рис.1-3).
Относительно множества G и Г = ∂G можно предполагать следующее: a) трехмерная мера границы Г равна нулю (см. рис. 1) и b) почти все (относительно меры в
(см. рис.1) занумерованы в естественном порядке: ηi ≤ ξi+1. Так как диаметр G равен d,
I.2. Проводим основное преобразование пространственных координат, переводящее
. (1)
(При использовании теории положительных на конусе операторов от функции h будет дополнительно требоваться вещественность, а от k – строгая положительность.)
Обозначения соответствуют использованным в [2] и следуют принятым в
I.5. Приведем несколько простых предложений, которые использовались в [11] при доказательстве теорем 1-10.
Пр.9. Измеримость встречается здесь и далее подынтегральных выражений легко доказывается, на чём не будем впредь специально останавливаться. Например, если
рассмотрение процесса переноса частиц в произвольном компактном теле V.
II.1. Результаты.
результаты п.п.3, 9 (формула (2)) и 11, – новые.
Литература
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: “Наука”, любое издание.
2. Келлин Н.С. Спектральные свойства оператора переноса частиц // Труды IX Международной научной конференции “Цивилизация знаний: инновационный переход к обществу высоких технологий”. Ч.I. – М.: РосНОУ, 25-26 апреля 2008. С.347-351.
3. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. – Тр. МИАН СССР им. В.А.Стеклова, 1961. Т.61.
4. Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов. Линейный анализ. – М.: Атомиздат, 1973.
5. Келлин Н.С. Анализ линейного уравнения Больцмана. Применение к теории переноса частиц. Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук – М.: ИПМ АН СССР, 1985, 140 с.
6. Келлин Н.С., Паротькин С.В. Одномерная задача для системы уравнений Власова–Максвелла // М.: Вестник МГОУ, сер. “Физика-математика”, 2008, №1. C. 36-45.
7. Стёпин С.А. Волновые операторы для линеаризованного уравнения Больцмана в односкоростной теории переноса // Матем. сб. 2001, 192:1. C. 139-160.
8. Стёпин С.А. О модели Фридрихса в односкоростной теории переноса // Функ. ан., 2001, 35:2. C. 87-92.
9. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики, Т.1-2. – М.: “Мир”, 1984.
10. Келлин Н.С. Оператор переноса частиц в пространствах Лебега // Рукопись депонирована в ВИНИТИ 3 декабря 1984 г., №7649/84 – Деп.
11. Келлин Н.С. Газокинетический оператор в пространствах Лебега // Рукопись депонирована в ВИНИТИ 20 ноября 1984г., №7401/84 – Деп.
12. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. – М.: ИЛ, 1962.
13. Канторович Л.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М.: “Наука”, 1977.
14. Красносельский М.А. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. – М.: “Наука”, 1966.
